3.2.       Nullstellen

Möchte man die Nullstellen (Schnittpunkte mit der X-Achse) einer quadratischen Funktion berechnen, so setzt man den Funktionsterm gleich Null (y = 0 oder f(x) = 0). Falls man vor dem x² noch einen Faktor hat, der von 1 verschieden ist, so muss man die ganze Gleichung noch durch diesen Faktor teilen. So erhält man die Normalform einer quadratischen Gleichung x²+px+q = 0.

Für diese Normalform gibt es eine Lösungsformel, die sogenannte. p q-Formel.

x²+px+q = 0 hat folgende Lösungen:

x_1/2  = –p/2 ±√((p/2)² – q);   (p/2)² – q = D (Diskriminante)

D > 0 → zwei Lösungen
D = 0 → eine Lösung
D < 0 → keine Lösung

 

Beispiel: Berechne die Nullstellen der Parabel y = 2x²+4x–10.

Lösung: 2x² + 4x –16 = 0 |:2↔x² +2x –8 = 0

Lösungsformel: p = 2; q = –8

x_1/2  = –2/2 ±√((2/2)2 – (-8))= –1 ±√(1+8) = –1 ± 3

x₁ = 2; x₂ = –4

Die Nullstellen liegen bei N₁(2|0) und N₂(–4|0)

3.3.       Scheitelpunktform

Die Normalparabel f(x)=x² hat den Scheitelpunkt bei S(0|0). Diese Normalparabel kann man folgendermaßen verändern:

Durch Addition bzw. Subtraktion verschiebt sich der Scheitelpunkt nach oben oder unten.

Durch Multiplikation vor dem Quadrat wird die Parabel steiler (gestreckt) oder flacher (gestaucht).

Ist dieser Faktor negativ, so ist die Parabel nach unten geöffnet.

Durch Addition bzw. Subtraktion verschiebt sich der Scheitelpunkt nach links bzw. rechts.

Somit ergibt sich folgender Satz:

Hat eine quadratische Funktion die Form y = a(x – f)² + e,  
so nennt man diese Darstellung die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion. An ihr kann man die Lage des Scheitelpunktes ablesen, d.h. der Scheitelpunkt liegt bei S(e | f).
Für den Faktor a gilt:
a > 0                         →     Die Parabel ist nach oben geöffnet.
a < 0                         →     Die Parabel ist nach unten geöffnet.
-1 < a <1                  →     Die Parabel ist gestaucht (flacher).
a < –1 oder a > 1      →     Die Parabel ist gesteckt.

Damit man die Lage des Scheitelpunktes ablesen kann, muss man die quadratische Funktion in die Scheitelpunktform überführen, indem man den Teil mit x quadratisch ergänzt, so dass man die 1. oder 2. binomische Formel anwenden kann.

 

Beispiel: Gegeben ist die Parabel f(x) = 2x² – 16x + 6 | Faktor 2 bei x² und x ausklammern

= 2(x² – 8x) + 6          |Klammer quadratisch ergänzen – halbieren und quadrieren

=2(x² – 8x +16 – 16) +6        |binomische Formel

=2((x – 4)²– 16) + 6    |ausmultiplizieren

=2(x – 4)² – 32 +6      |zusammen fassen

=2(x – 4)² – 26           |Scheitelpunkt ablesen

→S(+4|-26)

 

Hat man den Scheitelpunkt und den Streckungsfaktor gegeben, so erhält man aus der Scheitelpunktform folgendermaßen die Normalform einer quadratischen Funktion:

 

Beispiel: a = 2 und S(3|5)

f(x) = 2(x – 3)² +5      |binomische Formel

= 2(x² – 6x + 9) +5     |ausmultiplizieren

=2x² – 12x + 18 + 5   |zusammenfassen

=2x² – 12x + 23

3.4.       Schnittpunkte berechnen

Bei den quadratischen Funktionen kann man verschiedene Schnittpunktberechnungen machen. Zum einen kann man die Schnittpunkte zweier Parabeln und zum anderen die Schnittpunkte einer Parabel mit einer Geraden berechnen. Hierzu setzt man die beiden Funktionen gleich (f(x)=g(x)).

 

Beispiel:

Parabel f(x) = 2x² – 12x – 16 und
Gerade g(x) = 4x +  2 | gleichsetzen

2x² – 12x – 16 = 4x +  2        | Seiten tauschen und Zusammenfassen

2x² – 16x -18 = 0       | Normalform erzeugen :2

x² – 8x – 9 = 0            | p-q-Formel

x_1/2 = 4 ±√(16+9) = 4 ± 5

x₁ = 9; x₂ = -1 

y₁ = 4‧9 + 2 = 38; y2 = 4‧(– 1) + 2= – 2

→ S₁(9|38); S₂(– 1|– 2)

 

Hat man bei dieser Berechnung nur eine Lösung, so berührt die Gerade die Parabel nur in einem Punkt. Dann nennt man diese Gerade eine Tangente der Parabel in diesem Berührpunkt.

3.5.       Tangente Berechnen

 

1. Der Punkt P liegt auf der Parabel
   
   

Möchte man eine Tangente in einem Punkt P(x₁|y₁) an die Parabel f(x)=ax² berechnen, so muss man eine Gerade y = mx + b finden, die die Parabel nur in einem Punkt berührt, d.h. bei der Schnittpunktberechnung nur einen gemeinsamen Punkt hat.

 

ax² = mx + b ↔ ax² –  mx – b = 0 ↔ x2 – (m/a)x – b/a = 0

x_1/2 = (m/2a) ±√((-m/2a)2 +b/a)

Man hat nur eine Lösung, wenn die Wurzel Null ist,

also ist x₁ = m/2a oder m = 2a•x₁. Dies ist die Steigung der Tangente.

 

Die Berechnung von b der Tangente y = mx + b erfolgt mit Hilfe des Punktes P.

y₁ = a(x₁)² ; Nun alles in die Tangente einsetzen ergibt:

a(x₁)2 = 2a‧x₁‧x₁ + b↔ – a(x₁)² = b

Die Tangentengleichung lautet: y =  2a‧x₁‧x – a(x₁)²

 

2. Der Punkt P liegt unterhalb oder oberhalb der Parabel

 

Möchte man eine Tangente von einem Punkt P(x₁|y₁) aus an die Parabel f(x)=ax² berechnen, so ist die Berechnung vielkomplizierter, da man einen Punkt Q auf der Parabel finden muss, wobei auch hier die Parabel und die Tangente nur einen Berührpunkt haben darf.

Hier folgt ein Beispiel:

 

3.6.       Parabel aus drei Punkten bestimmen

Hat man drei Punkte einer Parabel gegeben, so müssen beim Einsetzen der X-Werte bei der quadratischen Funktion die Y-Werte herauskommen. Aus jedem Punkt der Parabel erhält man eine Gleichung – insgesamt erhält man ein Gleichungssystem von drei Gleichungen mit 3 Variablen.

Aufgabe 5: Anwendungsaufgabe Gerade und Parabel

Der Teil eines Gebirges verläuft zwischen den Punkten A(2|2) und B(6|10) wie die Parabel mit der Funktionsgleichung y = x² – 6x + 10. Zwischen den Punkten A und B soll ein Seil gespannt werden, um Lebensmittel von A nach B befördern zu können.

1. Stelle eine Gleichung der Geraden auf, die durch die Punkte A und B verläuft.
2. Wie lang muss das Verbindungsseil mindestens sein?
3. Berechne den tiefsten Punkt des Tales, das mit dem Seil überspannt wird.
4. Zur Unterstützung des Seiles soll im Mittelpunkt des Seiles eine Verankerung
   am Berg senkrecht zum Seil angebracht werden. Stelle eine Geradengleichung
   dieser Verankerung auf. Wo wird die Verankerung am Berg befestigt?
   (Runde auf 2 Dezimalstellen)

 Aufgabe 6: Bestimme die quadratische Funktion f, die durch die drei Punkte A, B und C verläuft.

1. A(1/3) ,  B(-2/18)  ,   C(4/24)                  Lösung:   f(x) = 2x² – 3x + 4
2.  A(2/-22) ,  B(1/-12)  ,   C(-3/-52)           Lösung:   f(x) = -4x² + 2x – 10
3.   A(2/-1,5) ,  B(-4/-10,5)  ,   C(0/-6,5)      Lösung:   f(x) = 0,25x² + 2x – 6,5
4.  A(2/0) ,  B(-1/9)  ,   C(5/-63)                  Lösung:   f(x) = -3x² + 12
5.  A(2/ ) ,  B( /-1)  ,   C(-3/44,5 )     Lösung:   f(x) = 2x² – 8x +2,5

 

 

3.8.       Klausuraufgaben

Aufgabe 1:

Gegeben sind die quadratischen Funktionen  f(x) = x² + 4x – 5, g(x) = 3x² + x – 5

und h(x) = ½ x² + 5

1. Berechnen Sie die Scheitelpunkte von f(x) und h(x).
2. Bestimmen Sie rechnerisch die Nullstellen von g(x).
3. Ermitteln Sie rechnerisch die Schnittpunkte der beiden Funktionen f(x) und g(x)!
4. Ferner ist die Funktion k mit k(x) = ax + 3, a ϵℝ gegeben. Bestimmen Sie den Parameter a so, dass h und k genau einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen.